Universidad de Puerto Rico en Aguadilla · Departamento de Matemáticas

Los Números Reales y los Axiomas

Precálculo I (MATE 3171) · Prof. José Neville Díaz Caraballo

Parte I

¿Nacimos matemáticos?

La intuición que sí traemos

Antes de que nadie te enseñara un número, ya tenías algo. No era aritmética, pero era real: la capacidad de comparar cantidades, de saber que un árbol tiene más chinas que otro. Lo que no traías era la escala lineal, esa regla perfectamente espaciada donde el salto de 1 a 2 es igual al salto de 99 a 100.

Estudio verificado Dehaene, S., Izard, V., Spelke, E. y Pica, P. (2008). "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures." Science, 320(5880), 1217–1220.

El lingüista Pierre Pica viajó a la Amazonia brasileña a estudiar a los Mundurucú, un pueblo indígena de unas 7,000 personas en el estado de Pará, Brasil. Su lengua no tiene palabras para números más allá de aproximadamente cinco: su sistema de conteo es, en esencia, uno, dos, pocos, muchos. A pesar de eso, los Mundurucú pueden comparar y estimar cantidades grandes con precisión. Junto a Dehaene, Spelke e Izard, Pica realizó un experimento simple: mostrar a participantes de todas las edades una línea, y pedirles que marcaran dónde va el número 3, el 10, el 50, en una escala del 1 al 100.

El resultado fue inequívoco. Los Mundurucú, al igual que los niños occidentales antes de la escolarización formal, ubican los números en escala logarítmica: comprimen los números grandes y espacian más los pequeños, exactamente como lo hacen todos los animales que comparan cantidades. Los adultos occidentales con educación formal son los únicos que usan la escala lineal.

Conclusión del estudio

La intuición numérica innata es logarítmica. La escala lineal que usamos en matemáticas formales es una construcción cultural que depende completamente de la educación. No nacemos con ella.

Esto tiene una consecuencia importante: la escala lineal, el instrumento central de la aritmética y el álgebra, no es un reflejo de la naturaleza. Es un invento humano. Y los inventos hay que aprenderlos con precisión, porque no vienen solos.

La matemática como invento único

En el reino animal puedes encontrar casi todo: caza cooperativa, construcción de estructuras, jerarquía social, comunicación, incluso herramientas. Pero jamás vas a encontrar a un chimpancé resolviendo una ecuación diferencial, ni a una abeja demostrando el Teorema de Pitágoras.

La matemática formal, ese sistema de razonamiento que construimos sobre definiciones, axiomas y demostraciones, es el único invento de esa magnitud que es exclusivamente humano. No es solo un conjunto de cálculos. Es el lenguaje más preciso que existe para afinar el razonamiento. Por eso es el corazón de este curso.

Aquí está la consecuencia directa: si la escala lineal no es innata sino construida, entonces los números que usamos en álgebra tampoco se sostienen solos. Necesitan una base explícita. Esa base son los axiomas, las reglas mínimas que acordamos que son verdad y desde las cuales se deriva todo lo demás. La Parte III de este módulo construye exactamente eso.

Parte II

Construcción de los Conjuntos Numéricos

Vamos a construir los números como los construyó la humanidad: respondiendo preguntas concretas, una necesidad a la vez. Nuestro guía será un genio ficticio en la aldea. Lo llamamos Poincaré, en honor a Henri Poincaré (1854–1912), uno de los matemáticos más grandes de la historia, famoso por su intuición geométrica y por su visión de las matemáticas como actividad creativa humana.

2.1 Los Naturales ℕ

En nuestra aldea siempre se cosecharon chinas. Poincaré quería contar: ¿cuántas chinas hay en este saco? De esa necesidad nacen los números naturales.

Definición

El conjunto de los números naturales es: \[ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\} \] Algunos autores incluyen el cero: \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\). En este curso usaremos \(\mathbb{N}\) sin el cero; el cero tiene su propia historia.

La estructura formal de los naturales fue axiomatizada por el matemático italiano Giuseppe Peano en 1889, basándose en trabajos previos de Grassmann (1861) y Dedekind (1888). Los axiomas de Peano construyen todos los naturales a partir de un solo concepto: la función sucesor \(S(n)\), que al natural \(n\) le asigna el siguiente.

2.2 Los Enteros ℤ

Poincaré vendía chinas a crédito. A veces le debían sacos. Necesitaba representar deuda, y los naturales no alcanzaban. De ahí nacen los negativos, y con ellos la pregunta: ¿qué pasa cuando alguien te paga exactamente lo que te debe? Nace la necesidad del cero.

Historia del cero — verificado El cero fue formalizado matemáticamente por el astrónomo y matemático indio Brahmagupta en el Brahmasphutasiddhanta (628 d.C.). Brahmagupta definió el cero como el resultado de restar un número de sí mismo y estableció reglas para operar con él. Los árabes recibieron este sistema en el siglo IX a través de Al-Khwarizmi, y llegó a Europa en el siglo XII.
El cero no es un invento árabe. Es un invento indio transmitido por los árabes. Fuente: Britannica, "Hindu-Arabic numerals"; MacTutor History of Mathematics, St Andrews.

Definición

El conjunto de los números enteros es: \[ \mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \] Los negativos son los inversos aditivos de los naturales. Para cada \(n \in \mathbb{N}\) existe \(-n\) tal que \(n + (-n) = 0\).

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)

2.3 Los Racionales ℚ

Le sobraba medio saco. Cinco octavos de saco. Los enteros no podían representar fracciones de cosecha, así que Poincaré inventó los racionales.

Definición

Un número racional es cualquier número que puede escribirse como \[ \frac{a}{b} \quad \text{donde } a, b \in \mathbb{Z} \text{ y } b \neq 0. \] El conjunto es \(\mathbb{Q}\). Su representación decimal siempre termina o se repite periódicamente.

Ejemplos:

Una propiedad notable de \(\mathbb{Q}\): entre dos racionales cualesquiera siempre existe otro racional. Por ejemplo, entre \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{2}\) está \(\frac{5}{12}\). A esta propiedad se le llama densidad. A pesar de eso, los racionales no llenan la recta numérica. Hay huecos.

\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)

2.4 Los Irracionales Algebraicos 𝔸 \ ℚ

Poincaré quería construir pirámides. Calculó la hipotenusa de un triángulo con catetos de longitud 1. Por el Teorema de Pitágoras: \[ c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Intentó escribir \(\sqrt{2}\) como fracción. No pudo. Nadie pudo.

Hippasus de Metaponto — siglo V a.C. La prueba de que \(\sqrt{2}\) no es racional se atribuye a Hippasus de Metaponto, miembro de la Hermandad Pitagórica. Los pitagóricos creían que todo número era una razón de enteros. Hippasus demostró que \(\sqrt{2}\) destruía esa creencia. La demostración sobrevivió. Hippasus, según la tradición, no.
Leyenda (fuentes antiguas, no verificable con certeza histórica) Según algunas fuentes antiguas, los pitagóricos arrojaron a Hippasus al mar por revelar la existencia de los irracionales. La historia habla de cuánto puede costar una verdad matemática incómoda.

Demostración: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)

Demostración por contradicción (reducción al absurdo).

Hipótesis: Suponemos que \(\sqrt{2}\) es racional. Entonces existe una fracción reducida \(\dfrac{a}{b}\) (con \(a, b\) enteros positivos, \(\gcd(a,b)=1\)) tal que:

\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
  1. Elevamos ambos lados al cuadrado: \(\;2 = \dfrac{a^2}{b^2}\)

    Propiedad de la igualdad.

  2. Por tanto \(a^2 = 2b^2\)

    Despejamos \(a^2\).

  3. \(a^2\) es par, luego \(a\) es par. Escribimos \(a = 2k\) para algún entero \(k\).

    Si \(a\) fuera impar, \(a^2\) sería impar. Contradicción.

  4. Sustituimos: \((2k)^2 = 2b^2\;\Rightarrow\; 4k^2 = 2b^2\;\Rightarrow\; b^2 = 2k^2\)

    Álgebra elemental.

  5. Entonces \(b^2\) es par, luego \(b\) es par.

    Mismo argumento que el paso 3.

  6. Pero si \(a\) y \(b\) son ambos pares, tienen factor común 2. Contradicción con \(\gcd(a,b)=1\). ∎

    La fracción \(a/b\) no estaba reducida. La hipótesis inicial es falsa.

Conclusión: \(\sqrt{2}\) no puede escribirse como fracción. Es irracional. Su decimal no termina ni se repite.

¿Qué es un número algebraico?

Definición

Un número \(\alpha\) es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes enteros: \[ a_n \alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_1\alpha + a_0 = 0, \quad a_i \in \mathbb{Z},\; a_n \neq 0. \] El grado del número algebraico es el grado del polinomio mínimo que lo tiene como raíz.

Nota curricular Los polinomios son el tema central de este curso. Esta definición cobrará todo su significado cuando los estudiemos en detalle. Por ahora, basta con reconocer que un número algebraico es aquel que "vive" como solución de alguna ecuación polinomial con coeficientes enteros.

Ejemplos:

2.5 Los Irracionales Trascendentales

Definición

Un número es trascendental si no es algebraico: no satisface ningún polinomio con coeficientes enteros, de ningún grado.

Historia — verificado
  • 1844 — Liouville: construyó el primer número probadamente trascendental (los números de Liouville). Fue el primero en demostrar que los trascendentales existen.
  • 1873 — Hermite: demostró que \(e\) es trascendental.
  • 1882 — Lindemann: demostró que \(\pi\) es trascendental. Consecuencia inmediata: cuadrar el círculo es imposible, un problema abierto desde la Grecia antigua que quedó cerrado para siempre.
Fuente: Quanta Magazine, "Recounting the History of Math's Transcendental Numbers" (2023); Butler, L.A., "Transcendence and Irrationality Proofs", U. of Bristol.

Ejemplos de números trascendentales:

2.6 Los Reales ℝ

Definición

El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) es la unión de los racionales y los irracionales. Representa todos los puntos de la recta numérica. \[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \]

La jerarquía completa de los conjuntos numéricos que usaremos en este curso:

Jerarquía de los conjuntos numéricos Diagrama que muestra R como rectángulo contenedor. Dentro, Q (lado izquierdo) e Irracionales (lado derecho) son dos regiones completamente separadas y disjuntas. Dentro de Q se anidan Z y luego N. ℝ — Números Reales ℝ = ℚ ∪ 𝕀  (unión disjunta) ℚ — Racionales terminan o se repiten 3/4, −2, 0.333…, 7/11 ℤ — Enteros …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… ℕ — Naturales 1, 2, 3, 4, 5… contar, sucesor ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 𝕀 — Irracionales no terminan, no se repiten ℚ ∩ 𝕀 = ∅  (son disjuntos) Algebraicos raíz de polinomio con coef. enteros √2, √3 √5, φ x²−2=0 → √2 Trascendentales no son raíz de ningún polinomio π e Lindemann 1882 Hermite 1873 ℚ ∩ 𝕀 = ∅ — Un número no puede ser racional e irracional al mismo tiempo

Figura 1. ℝ = ℚ ∪ 𝕀. Los racionales e irracionales son conjuntos disjuntos: no comparten ningún elemento. Los irracionales se subdividen en algebraicos y trascendentales.

Parte III

Los Axiomas: Suma, Multiplicación y Distributividad

3.1 Solo dos operaciones existen

En matemáticas formales hay exactamente dos operaciones fundamentales: la suma y la multiplicación. La resta y la división no son operaciones independientes. Son definiciones:

Definiciones derivadas

Resta: \(\quad a - b \;:=\; a + (-b)\)
Restar \(b\) es sumar el inverso aditivo de \(b\).

División: \(\quad a \div b \;:=\; a \cdot \dfrac{1}{b}, \quad b \neq 0\)
Dividir entre \(b\) es multiplicar por el inverso multiplicativo de \(b\).

Esta no es una decisión arbitraria. Es la razón por la que el álgebra funciona con solo dos conjuntos de axiomas.

3.2 Axiomas de la Suma

Para todos \(a, b, c \in \mathbb{R}\):

Axiomas de la suma para los números reales
# Axioma Nombre Ejemplo Nota
A1 \(a + 0 = a\) Elemento identidad \(7 + 0 = 7\) El 0 es el neutro aditivo. Existe y es único.
A2 \(a + (-a) = 0\) Elemento inverso \(5 + (-5) = 0\) De aquí nace la resta: \(a - b := a + (-b)\)
A3 \((a + b) + c = a + (b + c)\) Asociatividad \((1+2)+3 = 1+(2+3)\) El agrupamiento no cambia el resultado.
A4 \(a + b = b + a\) Conmutatividad \(3 + 5 = 5 + 3\) Poder adicional: no toda operación lo tiene. Las matrices, por ejemplo, no conmutan en general.

3.3 Axiomas de la Multiplicación

Para todos \(a, b, c \in \mathbb{R}\):

Axiomas de la multiplicación para los números reales
# Axioma Nombre Ejemplo Nota
M1 \(a \cdot 1 = a\) Elemento identidad \(9 \cdot 1 = 9\) El 1 es el neutro multiplicativo. Existe y es único.
M2 \(a \cdot \dfrac{1}{a} = 1, \quad a \neq 0\) Elemento inverso \(6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1\) De aquí nace la división: \(a \div b := a \cdot \frac{1}{b}\)
M3 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) Asociatividad \((2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)\) El agrupamiento no cambia el producto.
M4 \(a \cdot b = b \cdot a\) Conmutatividad \(4 \cdot 7 = 7 \cdot 4\) Poder adicional: la multiplicación de matrices no conmuta. En ℝ sí.

3.4 Distributividad: el puente entre las dos operaciones

Axioma D — Distributividad

Para todos \(a, b, c \in \mathbb{R}\): \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] La multiplicación distribuye sobre la suma. Este es el único axioma que conecta ambas operaciones.

Sin este axioma, la suma y la multiplicación serían mundos separados y el álgebra no funcionaría. Tiene dos efectos en direcciones opuestas, ambos igualmente importantes:

La factorización, que es el proceso inverso, depende completamente de este axioma. Todo el tema de factorización de polinomios que veremos este semestre es Axioma D aplicado en reversa.

Más ejemplos:

3.5 Consecuencias demostrables desde los axiomas

Estas propiedades no se asumen. Se demuestran usando solo los axiomas anteriores.

Teorema: \(a \cdot 0 = 0\) para todo \(a \in \mathbb{R}\)

  1. \(0 + 0 = 0\)

    Axioma A1 aplicado a \(0\): el neutro suma con él mismo no cambia.

  2. \(a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0\)

    Multiplicamos ambos lados por \(a\).

  3. \(a \cdot 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0\)

    Axioma D (distributividad).

  4. Sumamos \(-(a \cdot 0)\) a ambos lados: \(\;a \cdot 0 = 0\) ∎

    Axioma A2: todo elemento tiene inverso aditivo. Axioma A1: sumar el neutro no cambia.

Teorema: \((-a)(-b) = ab\)

  1. \((-a)(-b) + (-a)(b) = (-a)\bigl((-b) + b\bigr) = (-a)(0) = 0\)

    Distributividad + inverso aditivo + teorema anterior.

  2. Entonces \((-a)(-b)\) es el inverso aditivo de \((-a)(b)\).

    Su suma da 0.

  3. \((-a)(b) + ab = (-a + a)b = 0 \cdot b = 0\), luego \((-a)(b) = -ab\).

    Mismo argumento.

  4. El inverso aditivo de \(-ab\) es \(ab\). Por tanto \((-a)(-b) = ab\). ∎

    Unicidad del inverso aditivo.

Parte IV

Ejercicios

4.1 Identificación de conjuntos

Para cada número, indica todos los conjuntos a los que pertenece: \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\).

4.2 Identifica el axioma

Indica qué axioma justifica cada igualdad (A1–A4, M1–M4, D).

4.3 Demostración guiada

Completa la justificación de cada paso. Usa solo los axiomas A1–A4, M1–M4 y D.

4.4 Eliminar resta y división

Reescribe cada expresión usando solo suma, multiplicación e inversos.