1. Suma de fracciones

Definición:

Para sumar fracciones, necesitamos un denominador común. Si los denominadores son iguales, sumamos los numeradores. Si son diferentes, encontramos el mínimo común múltiplo.

Fórmula: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Para denominadores diferentes: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$

1
Evalúa: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} =$
2
Evalúa: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} =$
3
Evalúa: $\frac{5}{6} + \frac{2}{9} =$
4
Evalúa: $\frac{3}{8} + \frac{1}{12} =$
5
Evalúa: $\frac{7}{15} + \frac{4}{25} =$

2. Resta de fracciones

Definición:

Para restar fracciones, seguimos el mismo proceso que para sumar, pero restamos los numeradores.

Fórmula: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Para denominadores diferentes: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

1
Evalúa: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} =$
2
Evalúa: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} =$
3
Evalúa: $\frac{7}{10} - \frac{2}{15} =$
4
Evalúa: $\frac{11}{12} - \frac{3}{8} =$
5
Evalúa: $\frac{5}{6} - \frac{1}{9} =$

3. Multiplicación de fracciones

Definición:

Para multiplicar fracciones, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador.

Fórmula: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Tip: Podemos simplificar antes de multiplicar cancelando factores comunes.

1
Evalúa: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} =$
2
Evalúa: $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} =$
3
Evalúa: $\frac{5}{12} \times \frac{8}{15} =$
4
Evalúa: $\frac{6}{7} \times \frac{14}{18} =$
5
Evalúa: $\frac{9}{16} \times \frac{4}{27} =$

4. División de fracciones

Definición:

Para dividir fracciones, multiplicamos por el recíproco de la segunda fracción.

Fórmula: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Regla: "Dividir es multiplicar por el inverso"

1
Evalúa: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} =$
2
Evalúa: $\frac{3}{8} \div \frac{2}{7} =$
3
Evalúa: $\frac{5}{12} \div \frac{10}{9} =$
4
Evalúa: $\frac{7}{15} \div \frac{14}{25} =$
5
Evalúa: $\frac{8}{21} \div \frac{4}{7} =$

5. Combinación de operaciones con fracciones

Orden de operaciones con fracciones:

Seguimos el mismo orden que con números enteros: PEMDAS

  1. Paréntesis
  2. Exponentes
  3. Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
  4. Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)
1
Evalúa: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} =$
2
Evalúa: $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} \div \frac{1}{3} =$
3
Evalúa: $\left(\frac{2}{5} + \frac{1}{10}\right) \times \frac{4}{3} =$
4
Evalúa: $\frac{7}{8} \div \frac{1}{4} + \frac{3}{2} =$
5
Evalúa: $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} - \frac{1}{2} \div \frac{2}{5} =$

6. Definir valor absoluto

Definición de Valor Absoluto:

El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica, sin considerar la dirección.

Notación: $|x|$ se lee "valor absoluto de x"

Definición formal:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Propiedades importantes:

  • $|x| \geq 0$ para todo número real $x$
  • $|x| = 0$ si y solo si $x = 0$
  • $|x| = |-x|$ (el valor absoluto es simétrico)
  • $|xy| = |x| \cdot |y|$
  • $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ cuando $y \neq 0$
1
Explica por qué $|5| = 5$ y $|-5| = 5$
2
¿Cuál es la distancia entre $-3$ y $7$ usando valor absoluto?
3
Demuestra que $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ usando $x = -3$ y $y = 4$
4
¿Es cierto que $|a + b| = |a| + |b|$ siempre? Investiga con $a = 3, b = -5$
5
Representa gráficamente en la recta numérica los puntos donde $|x| = 3$

7. Ejercicios básicos con valor absoluto

Estrategias para resolver:

  • Evaluación directa: Aplicar la definición
  • Ecuaciones: $|x| = a$ implica $x = a$ o $x = -a$ (si $a > 0$)
  • Desigualdades: $|x| < a$ implica $-a < x < a$
  • Desigualdades: $|x| > a$ implica $x < -a$ o $x > a$
1
Evalúa: $|8| + |-12| - |0| + |-7| =$
2
Resuelve: $|x| = 9$
3
Resuelve: $|2x - 6| = 10$
4
Resuelve: $|x + 3| < 5$
5
Resuelve: $|3x - 1| \geq 8$

8. Distributividad con expresiones algebraicas básicas

Propiedad Distributiva:

La propiedad distributiva nos permite "distribuir" un factor sobre una suma o resta.

Fórmula general: $a(b + c) = ab + ac$

También aplica para resta: $a(b - c) = ab - ac$

Casos especiales:

  • Distribuir un número: $3(x + 4) = 3x + 12$
  • Distribuir una variable: $x(2 + y) = 2x + xy$
  • Distribuir un negativo: $-(x + 5) = -x - 5$
1
Aplica la propiedad distributiva: $4(x + 7) =$
2
Aplica la propiedad distributiva: $-3(2y - 5) =$
3
Simplifica: $2x(3x + 4) - x(x - 1) =$
4
Simplifica: $(a + b)(c + d) =$
5
Factoriza usando distributividad: $12x^2 + 8x =$

9. Factorización con expresiones algebraicas básicas

Métodos de Factorización:

  1. Factor común: $ax + ay = a(x + y)$
  2. Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
  3. Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
  4. Trinomios de la forma: $ax^2 + bx + c$
  5. Agrupación: Para polinomios de 4 términos
1
Factoriza: $15x^3 - 9x^2 + 6x =$
2
Factoriza: $x^2 - 16 =$
3
Factoriza: $x^2 + 10x + 25 =$
4
Factoriza: $x^2 + 7x + 12 =$
5
Factoriza por agrupación: $ax + ay + bx + by =$

10. Leyes de exponentes

Leyes Fundamentales de Exponentes:

Para cualquier base $a \neq 0$ y exponentes reales $m, n$:

  1. Producto: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  2. Cociente: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  3. Potencia de potencia: $(a^m)^n = a^{mn}$
  4. Potencia de producto: $(ab)^n = a^n b^n$
  5. Potencia de cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
  6. Exponente cero: $a^0 = 1$
  7. Exponente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
1
Demuestra que $a^0 = 1$ usando la ley de cocientes
2
Explica por qué $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
3
Demuestra que $(ab)^n = a^n b^n$ para $n = 3$
4
Demuestra la ley: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ con ejemplo específico
5
Verifica que $(a^m)^n = a^{mn}$ usando $a = 3$, $m = 2$, $n = 4$

11. Ejercicios con leyes de exponentes

Estrategias para resolver:

  • Simplificar paso a paso: Aplicar una ley a la vez
  • Identificar la estructura: ¿Es producto, cociente, potencia?
  • Manejar exponentes negativos: Convertir a fracciones cuando sea útil
  • Verificar: Sustituir valores específicos para comprobar
1
Simplifica: $\frac{x^8 \cdot x^3}{x^5} =$
2
Simplifica: $(2x^3)^4 =$
3
Simplifica: $\frac{(a^2b^{-3})^{-2}}{a^{-4}b^5} =$
4
Expresa con exponentes positivos: $\frac{3x^{-2}y^4}{x^3y^{-1}} =$
5
Evalúa: $\left(\frac{2^3 \cdot 3^2}{2^{-1} \cdot 3^4}\right)^{-1} =$