1. Propiedad Distributiva

Definición:

La propiedad distributiva permite expandir un factor sobre una suma o resta.

Fórmula general: $a(b + c) = ab + ac$

Para la resta: $a(b - c) = ab - ac$

Producto de binomios (FOIL): $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Nota fundamental

La resta es la suma del opuesto: $a - b := a + (-b)$

Por eso $a(b-c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) = ab - ac$.

1
Expande: $4(x + 7)$
2
Expande: $-3(2y - 5)$
3
Simplifica: $2x(3x + 4) - x(x - 1)$
4
Expande $(2x + 3)^2$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 5
⚠ Error frecuente — Pregunta 5

El distractor más frecuente es $4x^2 + 9$, que omite el término cruzado $12x$.

Incorrecto: $(2x+3)^2 \neq (2x)^2 + (3)^2 = 4x^2 + 9$
Correcto: $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

La fórmula general siempre produce tres términos: $$( a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

2. Factorización

Métodos principales:

  1. Factor común: $ab + ac = a(b+c)$
  2. Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
  3. Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
  4. Trinomio general: $x^2 + bx + c = (x+r)(x+s)$, donde $rs = c$ y $r+s = b$
  5. Agrupación: $ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$
2.1 Factor común

Es el inverso de la distributiva. Se extrae el Máximo Factor Común (MFC) de todos los términos.

1
Factoriza: $15x^3 - 9x^2 + 6x$
2
Factoriza: $12x^2 + 8x$
2.2 Diferencia de cuadrados

Verificable por FOIL: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$. Los términos cruzados se cancelan. Requisito: dos cuadrados perfectos con signo negativo entre ellos.

3
Factoriza: $x^2 - 16$
4
Simplifica $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 4
2.3 Trinomio cuadrado perfecto

Se reconoce cuando el primer y último término son cuadrados perfectos y el término medio es $\pm\,2ab$.

5
Factoriza: $x^2 + 10x + 25$
6
Factoriza: $4x^2 - 12x + 9$
2.4 Trinomio general
7
Factoriza: $x^2 + 7x + 12$
2.5 Factorización por agrupación

Se usa cuando el polinomio tiene 4 (o más) términos sin MFC global. Se agrupan pares, se extrae factor de cada par y se identifica el binomio común.

8
Factoriza: $ax + ay + bx + by$
9
Factoriza $2x^4 - 4x^3 - 3x + 6$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 7

3. Orden de Operaciones — PEMDAS

Jerarquía:

PasoOperaciónDirección
PParéntesisInterior → Exterior
EExponentes—
M / DMultiplicación y DivisiónIzquierda → Derecha
A / SAdición y SustracciónIzquierda → Derecha
Notas fundamentales

La resta es la suma del opuesto: $a - b := a + (-b)$

La división es multiplicación por el recíproco: $a \div b := a \cdot \dfrac{1}{b}$

1
Evalúa: $-2 + 3\,(5 - 2 \cdot 4) \div 2$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 9
2
Evalúa: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$
3
Evalúa: $\dfrac{3}{5}\!\left(2 - \dfrac{3}{4}\right)$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 6
4
Evalúa: $\dfrac{7}{8} \div \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}$

4. Leyes de Exponentes

Leyes fundamentales (para $a \neq 0$, $b \neq 0$):

LeyFormaDerivación breve
Producto $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $m$ factores concatenados con $n$ factores
Cociente $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Se cancelan $n$ factores comunes
Potencia de potencia $(a^m)^n = a^{mn}$ $n$ grupos de $m$ factores
Potencia de producto $(ab)^n = a^n b^n$ Distributiva del exponente
Potencia de cociente $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ Igual que la anterior
Exponente cero $a^0 = 1$ $a^n / a^n = a^{n-n} = a^0 = 1$
Exponente negativo $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ $a^n \cdot a^{-n} = a^0 = 1$, luego $a^{-n}$ es el recíproco
1
Simplifica: $\dfrac{x^8 \cdot x^3}{x^5}$
2
Simplifica: $(2x^3)^4$
3
Expresa con exponentes positivos: $\dfrac{3x^{-2}y^4}{x^3 y^{-1}}$
4
Simplifica $(2x^2 y)^2 (3xy^3)^3$ Prueba Diagnóstica — Pregunta 10
5
Simplifica: $\left(\dfrac{a^2 b^{-3}}{a^{-1} b^2}\right)^2$

5. Clasificación Numérica — La naturaleza de $\pi$

Los subconjuntos de los números reales:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$

ConjuntoSímboloDescripciónDecimal
Naturales$\mathbb{N}$ $1, 2, 3, \ldots$—
Enteros$\mathbb{Z}$ $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$—
Racionales$\mathbb{Q}$ $p/q$, con $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ Termina o se repite
Irracionales$\mathbb{I}$ No son $p/q$ Infinito, no periódico
Reales$\mathbb{R}$ $\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ — toda la recta numérica—
¿Por qué $\pi \in \mathbb{I}$?

$\pi$ es, por definición geométrica, el cociente de la circunferencia entre el diámetro: $\pi = C/d$.

Su expansión decimal es infinita y no periódica: $\pi = 3.14159265\ldots$

Por tanto $\pi \notin \mathbb{Q}$. Pertenece a $\mathbb{I}$ y a $\mathbb{R}$. No es racional, no es $3.14$, no es natural.

1
«El valor de $\pi$ es:» Prueba Diagnóstica — Pregunta 8
2
Clasifica cada número en el subconjunto más específico posible: $-7,\quad 0,\quad \dfrac{3}{5},\quad \sqrt{2},\quad \pi,\quad 4.25$